Лестница Пенроуза, часть1-механика


     Papalashvili Dimitri Papalashvili Dimitri     Georgia, Tbilisi,      2459226       E-mail: d170347@gmail.com
Автор: Владимир Уткин
Часть-2

РЕАЛИЗУЕМОСТЬ ЛЕСТНИЦЫ

(беззатратные переходы и следствия)

ВВЕДЕНИЕ

Лестница Пенроуза представляет собой такую конструкцию лестницы, при которой в случае движения по ней в одном направлении (на Рис.1 против часовой стрелки) человек будет бесконечно подниматься, а при движении в обратном — постоянно спускаться.
При этом, после завершения визуального маршрута человек окажется в той же точке, с которой начал своё передвижение.
Существование лестницы в реальном мире считается невозможным.
Полагают, что это один из примеров классической оптической иллюзии.



Несмотря на это, постараемся создать конструкцию, в которой идеи оптической иллюзии становятся практически возможными.
Для этого реализуем:
1. Движение по ступеням лестницы (вверх или вниз)
2. Возврат в начало координат (беззатратный переход вверх или вниз)
Для решения задачи выберем путь, который условно можно назвать “вращение камня на верёвке”.
При этом, будем считать, что условия идеализированы, то есть “камень” – материальная точка, “верёвка” – невесомая нить без деформации.

ОБЩИЙ ПОДХОД

Начнем с беззатратных переходов, поскольку на первый взгляд, это кажется наибольшим преткновением.
Известно, что понятие энергии жёстко связано с системой координат, в которой эта энергия наблюдается.
При переходе от одной инерциальной системы координат к другой нужно затратить энергию равную разнице в наблюдаемых величинах.
Если наблюдаемые энергии в разных системах координат равны, то тратить энергию при переходе от одной системы координат к другой, видимо, не требуется.
А для неинерциальных?
Рассмотрим тело массой m1 , движущееся по окружности радиуса R1 с линейной скоростью V1 относительно некоторой точки начала координат O1 – Рис.2А.


В некоторый момент времени невесомая нить, на которой закреплено тело, обрывается (мы так хотим) и тело от вращательного движения переходит к прямолинейному движению – Рис.2Б.
При этом энергия тела не изменилась, изменилась только траектория его движения.
От вращательного движения мы перешли к прямолинейному движению, не затратив энергии.
Все эти рассуждения являются почти очевидными, более того с подобным “устройством” многие сталкивались на практике, раскручивая камень на верёвке и отпуская его – это устройство известно с древних времен как “праща”.
Как не трудно догадаться, существует и обратный переход, то есть переход от прямолинейного движения к вращательному движению.
Для этого нужно представить, что нить “имеет способность подхватывать” движущееся прямолинейно тело.
Что может это дать?
Будем рассуждать дальше, и осуществим беззатратный переход между двумя вращательными движениями с равной кинетической энергией, но разной центробежной силой – Рис.3.
Одно - относительно точки O1, второе - относительно точки O2.
Линейная скорость V1 при этом будет совпадать, а радиус вращения R2 будет отличаться от радиуса вращения R1 в большую сторону - Рис.3(А), или меньшую сторону – Рис.3(Б).


Однако, центробежная сила наблюдается только во вращающейся неинерциальной системе координат.
Таким образом, пытаясь говорить о величине центробежной силы, мы вынуждены оценивать её в разных неинерциальных системах координат.
В инерциальной системе координат центробежная сила отсутствует.
Иными словами, мы осуществляем беззатратный переход (скачок) от одной неинерциальной системы координат к другой неинерциальной системе координат с изменением величины центробежной силы (в ту или иную сторону) при сохранении кинетической энергии вращения.
Считаем, что переход от меньшей к большей центробежной силе соответствует скачку “вверх” на лестнице Пенроуза – Рис.3(Б), а переход от большей к меньшей центробежной силе– скачку “вниз” – Рис.3(А).
То есть, величина центробежной силы выступает аналогом потенциальной энергии в лестнице Пенроуза, большая центробежная сила – большая потенциальная энергия, меньшая центробежная сила – меньшая потенциальная энергия.
Далее перейдем к формированию движения по ступеням лестницы Пенроуза “вверх” или “вниз”, то есть в сторону большей или меньшей центробежной силы (потенциальной энергии). Для этого “камень на верёвке” будем постепенно подтягивать или отпускать.
В результате траектория движения тела примет следующий вид – Рис.4.


При этом скорость кругового перемещения тела V1 вдоль траектории будет оставаться неизменной, что соответствует неизменности кинетической энергии.
И известно из классической физики, хотя угловая скорость будет меняться в меньшую – Рис.4(А), или большую сторону – Рис.4(Б).
Если скорость кругового перемещения (кинетическая энергия), действительно будет оставаться неизменной то все последующие рассуждения верны, если нет – то нет.
Вот и все предварительные рассуждения, которые хотелось бы сделать, перед тем как нарисовать “потенциально реализуемый” вариант лестницы Пенроуза.

ПОТЕНЦИАЛЬНО РЕАЛИЗУЕМЫЙ ВАРИАНТ ЛЕСТНИЦЫ ПЕНРОУЗА

Наша лестница Пенроуза будет несколько отличаться от оригинала тем, что будет содержать два “круга ступеней” вместо одного (как в оригинале),
и соответственно две точки скачков (беззатратных переходов) – Рис.5.
Траектория для движения тела “вверх по лестнице Пенроуза” – Рис.5(А), и траектория для движения тела “вниз по лестнице Пенроуза” – Рис.5(Б).
В первом случае используется подтягивание нити для увеличения центробежной силы (движение “вверх”), c последующим скачком “вниз” – Рис.5(А).
Во втором случае используется отпускание нити для уменьшения центробежной силы (движение “вниз”), с последующим скачком “вверх” – Рис.5(Б).
В первом и втором случае перемещение происходит по замкнутой траектории, после прохода по всей траектории тело возвращается в первоначальное положение.
Иными словами, варианты отличаются направлением обхода траектории. При обходе в одном направлении происходит бесконечный подъём по лестнице Пенроуза, при обходе в обратном направлении происходит бесконечный спуск по лестнице Пенроуза. Знаки заземления означают фиксацию начала координат O1 и O2.


Для практической реализации придётся решить технические вопросы, связанные с методами осуществления подтягивания и отпускания нитей, а также методами реализации беззатратных переходов (“разрыв” и “склеивание” нитей).
Кроме того, придётся решить проблему поддержания скорости движения тела на траектории, которая будет стремиться уменьшаться из-за потерь различного рода.
Однако, это совершенно другая тема, касаться которой на данный момент мы не будем, а перейдём к следствиям реализуемости лестницы Пенроуза.
Но перед тем как перейти к следствиям лестницы Пенроуза, хотелось бы заметить “мистическое сходство” траекторий движения тела и знака бесконечности принятого в математике, особенно когда траектории состоят из одного витка в каждой системе координат.
Однако, перейдём к следствиям.

ГЕНЕРАЦИЯ ЭНЕРГИИ

Бесконечный спуск по лестнице Пенроуза должен приводить к бесконечному процессу генерации энергии.
Мячик, брошенный на ступени, будет бесконечно катиться вниз, преобразуя потенциальную энергию высоты ступеней в кинетическую энергию движения.
То же самое должно происходить и в нашей потенциально реализуемой лестнице Пенроуза.
Отпускание нитей должно приводить к генерации энергии, поскольку центробежная сила (сила связи) будет сама стремиться растянуть эти нити.
Для этого не нужно прикладывать внешнего усилия.
Если конец нити намотать на шкив электрогенератора, то, разматываясь под действием центробежной силы (силы связи), нить будет крутить электрогенератор - Рис.6.


На Рис.6 две вращающиеся системы координат О1 и О2 условно отображены на разной высоте, поэтому стрелки скачков “вверх” оказались направленными в разные стороны – это “плата” за наглядность иллюстрации.
Пояснить бесконечную генерацию энергии можно следующим образом.
После того как в системе O1 будет выработана некоторая энергия, нить в О1 обрывается (точка №1) и рабочее тело переходит в систему О2 , где процедура генерации энергии повторяется.
После выработки энергии в О2 обрывается нить в О2 и тело возвращается в систему О1 (точка №2).
Далее процедура развивается по циклу, то есть по замкнутой траектории.
Такое описание является чисто иллюстративным, поскольку для бесконечной работы устройства на шкивах каждого генератора должно быть запасено бесконечное число нитей (если считать, что каждый раз берётся новая нить).
При этом иллюстрация Рис.6 соответствует неинерциальным вращающимся системам координат. В инерциальной системе координат – Рис.5(Б) линейная скорость перемещения тела в начале и конце траектории не изменится, и соответственно ни какой генерации энергии не происходит.
То есть, для стороннего наблюдателя тело будет двигаться по замкнутой траектории (как шарик, катающийся без потерь в желобе соответствующей формы) и сторонний наблюдатель не сможет сказать, что в устройстве генерируется энергия.

УНИЧТОЖЕНИЕ ЭНЕРГИИ

Бесконечный подъем по лестнице Пенроуза должен приводить к бесконечным затратам энергии. Человек идущий вверх по лестнице поднимает своё тело всё выше и выше, затрачивая свою кинетическую энергию и переводя её в потенциальную энергию высоты ступеней. То же самое должно происходить и в нашей потенциально реализуемой лестнице Пенроуза. Подтягивание нитей должно приводить к затратам энергии, поскольку будет совершаться работа связанная с преодолением центробежной силы (силы связи). Если конец нити прикрепить к шкиву электродвигателя, то при наматывании нити на шкив двигателя он будет потреблять реальную энергию, преодолевая центробежную силу (силу связи) – Рис.7.


На Рис.7 две вращающиеся системы координат О1 и О2 условно отображены на разной высоте, поэтому стрелки скачков “вниз” оказались направленными в разные стороны – это “плата” за наглядность иллюстрации.
Пояснить бесконечное потребление энергии можно следующим образом.
После того как в системе O2 будет проведена работа против центробежной силы (силы связи), нить в О2 обрывается (точка №1) и рабочее тело переходит в систему О1 , где процедура работы против центробежной силы (силы связи) повторяется.
После проведения работы против центробежной силы (силы связи) в О1 обрывается нить в О1 и тело возвращается в систему О2 (точка №2).
Далее процедура развивается по циклу.
Такое описание является чисто иллюстративным, поскольку для бесконечной работы устройства на шкивах каждого электромотора должно быть запасено бесконечное число нитей (если считать, что каждый раз берётся новая нить).

При этом иллюстрация Рис.7 соответствует неинерциальной вращающейся системе координат (как и Рис.6).
В инерциальной системе координат – Рис.5(А) линейная скорость перемещения тела в начале и конце траектории не изменится, и соответственно ни какого потребления внешней энергии обнаружить не удастся.
То есть, для стороннего наблюдателя тело будет двигаться равномерно по замкнутой траектории (как шарик, катающийся без потерь в желобе соответствующей формы) и сторонний наблюдатель не сможет сказать, что затрачивается энергия.
При этом термин “уничтожение энергии” выбран именно потому, что затрачиваемая энергия не будет преобразовываться в какой-то иной вид энергии c точки зрения стороннего наблюдателя.
Для стороннего наблюдателя она будет исчезать.

Таким образом, генерация и уничтожение энергии зависит от направления движения по лестнице Пенроуза.
При движении в одну сторону энергия генерируется, при движении в обратную сторону уничтожается.
Следует заметить, что практическая ценность уничтожения энергии не менее важна, чем практическая ценность генерации энергии.
Например, когда требуется охладить некий объект, а сбрасывать тепло некуда. В этом случае может помочь уничтожение энергии.
Тепло объекта преобразуем в электричество, которое крутит электродвигатели в уничтожителе энергии.
Нагретое тело как бы остывает само собой, без нагревания окружающей среды.

ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ЭНЕРГИИ

Мы показали, что в потенциально реализуемой лестнице Пенроуза тело движется с постоянной скоростью в начале и конце замкнутой траектории и сторонний наблюдатель не сможет сказать, генерируется энергия или уничтожается.
Для него генерация или уничтожение энергии не наблюдается.
В тоже время в неинерциальных системах координат (с периодической их сменой) будет наблюдаться генерирование или уничтожение энергии в зависимости от направления движения по траектории.
Причем, эта энергия будет реальной.
Хотелось бы понять, как это согласуется с законом сохранения энергии.
Прежде всего, следует отметить, что у закона сохранения энергии, как и у любого физического закона, существует область применимости.

Эту область применимости определяет теорема Эммы Нётер.
Теорема от 1918 года математика Эммы Нётер утверждает, что каждой непрерывной симметрии физической системы соответствует некоторый закон сохранения:
Симметрии времени соответствует закон сохранения энергии,
Симметрии пространства соответствует закон сохранения импульса,
Изотропии пространства соответствует закон сохранения момента импульса,
Калибровочной симметрии соответствует закон сохранения электрического заряда и т. д.
То есть, первоначальна симметрия, а затем соответствующий закон сохранения.
Если симметрии нет, то Вы находитесь за рамками применимости соответствующего закона сохранения.
Таким образом, закон сохранения энергии нарушить принципиально нельзя, поскольку он является следствием, а не причиной.

Однако, можно выйти за область его применимости, нарушив соответствующую симметрию.
Нас будет интересовать симметрия времени.
Симметрия времени означает инвариантность в выборе начала координат на оси времени.
То есть, вы можете выбирать начало координат на оси времени произвольно, результат проведения эксперимента от этого не должен меняться, если не изменились другие условия.
А вот с неизменностью условий в потенциально реализуемой лестнице Пенроуза “не всё в порядке”.
На оси времени существуют точки “беззатратного перехода”, когда слева от них тело обладает одной потенциальной энергией, а справа другой потенциальной энергией.
То есть, слева и справа условия отличаются.

Таким образом, говорить о том, что потенциально реализуемая лестница Пенроуза будет находиться в области применимости закона сохранения энергии нельзя.
В тоже время она подтверждает утверждение о том, что движение по замкнутой траектории в потенциальном поле не совершает работы.
Это действительно так, поскольку сторонний наблюдатель не сможет определить генерируется или уничтожается энергия в этом устройстве (как если бы шарик, катался без потерь в желобе соответствующей формы).
Однако, для начала движения по замкнутой траектории телу придётся придать начальную кинетическую энергию.
Только эту энергию и сможет наблюдать сторонний наблюдатель.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Показана принципиальная реализуемость лестницы Пенроуза в неинерциальных вращающихся системах координат, где аналогом потенциальной энергии выступает сила связи.
Работа против силы связи становится эквивалентом подъёма по лестнице Пенроуза. Работа самой силы связи становится эквивалентом спуска по лестнице Пенроуза.
Показано, что после “подъёма” или “спуска” по лестнице Пенроуза возможен беззатратный возврат в начало пути.
То есть, возврат к первоначальному значению потенциальной энергии. После чего, движение по лестнице Пенроуза можно повторять по циклу.
Следствием реализуемости лестницы Пенроуза является возможность генерации и уничтожения энергии.
Под генерацией и уничтожением энергии понимается именно возникновение “ниоткуда” и исчезновение в “никуда”, а не преобразование одних видов энергии в другую энергию.

Что соответствует бесконечному спуску и бесконечному подъему по лестнице Пенроуза, соответственно.
Генерация или уничтожение энергии проявляется только для внутреннего наблюдателя, находящегося в неинерциальной системе координат.
Для него это будет выглядеть, например, как падение сверху камня, после чего этот камень исчезает и вновь появляется сверху.
Либо на подбрасывание камня с земли вверх, после чего камень исчезает и вновь появляется опять на земле.
В первом случае энергия бесконечно генерируется, во втором случае бесконечно тратится.
В тоже время подтверждена ещё раз справедливость утверждения о том, что работа, совершаемая телом при движении по замкнутой траектории в потенциальном поле равна нулю.
Внешний наблюдатель в инерциальной системе координат не сможет определить наличие генерации или уничтожения энергии в описываемом устройстве.

Полученные результаты не противоречат закону сохранения энергии, поскольку находятся за областью его применимости, которую теорема Эмми Нётер определяет как инвариантность в выборе начала координат на оси времени (симметрия времени).
Для рассмотренного потенциально реализуемого устройства это условие не выполняется, поскольку в нём используются беззатратные скачки, приводящие к восстановлению потенциальной энергии тела.
Слева и справа от скачков условия различны. В описанном устройстве для начала движения по замкнутой траектории телу придётся придать начальную кинетическую энергию.
Только эти затраты энергии и сможет наблюдать сторонний наблюдатель.
При этом следуем заметить.
Если скорость линейного перемещения тела (а не угловая) в начале и конце траектории потенциально реализуемого устройства действительно будет оставаться неизменной, то все рассуждения верны, если нет – то нет.

ВОПРОСЫ И ОТВЕТЫ
(появлявшиеся в процессе написания статьи)

Вопрос 1. Какая разница между центробежной силой и силой связи.
Ответ: Разница в определении.
Под центробежной силой понимают силу нормальную вектору скорости…
Под силой связи понимают силу, проходящую через центр вращения…
Откуда следует, что при вращении “камня на верёвке” по окружности постоянного радиуса сила связи и центробежная сила совпадают по направлению и величине.
Однако, в общем случае, при движении по более сложным траекториям, появляется разница в направлении векторов силы связи и центробежной силы.
Таким примером может служить движение по спирали “вращающегося на верёвке камня”.
То есть, постепенное подтягивание или отпускание “вращающегося камня на верёвке” приводит к взаимодействию с силой связи, а не центробежной силой.
Сила связи считается реальной силой, а центробежная сила считается фиктивной силой.

Вопрос 2. Почему при подтягивании “камня вращающегося на верёвке” не изменяется его кинетическая энергия, ведь затрачиваются реальные усилия, и совершается реальная работа?
Ответ: Потому, что работа совершается против силы связи во вращающейся системе координат и приводит к увеличению потенциальной энергии в этой системе координат, а результат наблюдается в виде кинетической энергии в инерциальной системе координат.
Наглядно это можно объяснить следующим образом. Вы едите в поезде на верхней полке вагона, движущегося по инерции, и пытаетесь поднять на верёвке свой чемодан, а за вами с перрона наблюдает другой человек.
Для него поезд и ваш чемодан в начальный момент времени движутся с одинаковой скоростью.
В момент, когда Вы поднимаете чемодан, человек видит, что к направлению первоначального движения чемодана прибавляется вертикальная компонента подъема чемодана. Но после того как чемодан поднят, для наблюдателя он опять движется с той же скоростью, что и до его подъема, то есть со скоростью поезда.
Иными словами, проделана реальная работа, а кинетическая энергия чемодана с точки зрения человека стоящего на перроне не изменилась.

Вопрос 3. Почему говорят, что центробежная сила мнимая и не может совершать работу?
Ответ: В некоторых случаях это действительно так и вполне очевидно как, например, когда шар катается без сопротивления по жёлобу определенной формы.
В случае “ камня вращающегося на верёвке” центробежная сила также не совершает работу, но это делает сила связи при постепенном отпускании верёвки, что приводит к уменьшению потенциальной энергии, но не отражается на кинетической энергии “камня” для стороннего наблюдателя.
Если брать наш пример с чемоданом, то это означает, что чемодан упадёт с верхней полки и совершит при падении реальную работу, но человек на перроне не заметит разницы в его кинетической энергии до и после падения на пол.

Вопрос 4. Означают ли ответы на 1,2 и 3 вопросы, что центробежная сила во вращающейся системе координат (для случая “камня вращающегося на верёвке”) является аналогом потенциальной энергии.
Ответ: Да означает, только более точно будет сказать, что таким аналогом является сила связи.
Чем больше сила связи, тем больше потенциальная энергия “камня” во вращающейся системе координат.
В нашем примере с чемоданом поднятие чемодана на верхнюю полку означает увеличение силы связи.

Вопрос 5. Если “камень” не будет материальной точкой, то при переходе из одной системы координат в другую изменяется его угловая скорость вращения вокруг относительно собственного центра масс, это потребует затрат энергии?
Ответ: Не потребует, так как можно цеплять “камень” за центр масс с обеспечением свободного вращения и таким образом решить проблему.
Однако, переход от вращательного движения к прямолинейному движению не требует дополнительных затрат энергии, хотя и происходит скачок в значении угловой скорости вращения. Возможно, та же ситуация будет и здесь, поскольку оба центра вращения и “камень” находятся на одной линии (при переходе от одной к другой системе координат).

Продолжение следует



Яндекс.Метрика